Diện Tích Mặt Cầu

Định nghĩa mặt cầu, khối cầu

Định nghĩa mặt cầu

Cho điểm I cố định và một số thực dương r

Tập hợp tất cả các điểm M nằm trong không gian cách I một khoảng bằng r được gọi là mặt cầu tâm I bán kính r.

Kí hiệu mặt cầu: S (I; r) = {M|IM=r}

Khối cầu hay hình cầu là gì ?

Khối cầu (Hình cầu) tâm I bán kính r là tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S (I; r) và các điểm nằm trong mặt cầu đó

Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu bán kính r, tâm I

Công thức tính diện tích mặt cầu S (I; r)

S = 4 π r2

Trong đó:

• S là diện tích mặt cầu tâm I bán kính r

• r là bán kính hình cầu

Công thức tính thể tích hình cầu S (I; R)

V = 4/3 π r3

Trong đó

• V là thể tích mặt cầu tâm I bán kính r

• R là bán kính mặt cầu tâm I

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp. Để tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, chúng ta cần xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp. Ngoài ra có thể áp dụng phương pháp tính nhanh với một số dạng toán cụ thể.

Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bước 1:  Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 2:  Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp  mặt bên.

Bước 3:  Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Trong một vài trường hợp đặc biệt, có thể có công thức tính nhanh diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Trường hợp 1: Hình chóp có các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh AB góc 90 độ

Các đỉnh này không nằm trên cạnh đó) dưới góc 90 độ, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chóp đó: R=AB/2 , diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S= 2 π AB2

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC, đáy là hình tam giác ABC có góc B bằng 90 độ, cạnh SA vuông góc với đáy tại điểm A. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC = 2a

=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: r = SC/2 = a

=> Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC: S= 4 π a2

=> Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: V = 4/3 π r3

Trường hợp 2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều SABC, SA = a

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: r = SA2 /2.SO 

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: S= 4 π R2 =  3/2 π a2

Trường hợp 3: Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều đáy SABCD,

Hình chóp tứ diện đều có ABCD là hình vuông. O là tâm hình vuông ABCD đồng thời là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.

=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD: r = OD

Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD

R= OD = (a √ 2)/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ diện đều SABCD

S = 4 π R2 = 2 π  a2

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương và mặt cầu nội tiếp hình lập phương

Hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp.

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: r = (a √ 3)/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: S = 3 π a2

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: V =√ 3 /2 π  a3

Diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: r = a/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: S =  π a2

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: V = ⅙ π  a3 

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D’ có độ dài các cạnh lần lượt là a,b,h

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật: R= (√ (a2  +b2 +h2) )/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật : S = π (a2  +b2 +h2)

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C’ có độ dài cạnh đáy = chiều cao =a

Gọi O và O’ lần lượt là trọng tâm của 2 đáy tam giác ABC và A’BC’

=> Trung điểm I của đoạn OO’ là trọng tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C’

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều:

 R = IC = √(IO’2 +O’C;2) = ( a√21 )/6

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều

S = 4 π R2 =  7/3πa2

Tổng kết công thức tính diện tích mặt cầu như sau

Bài tập vận dụng công thức tính diện tích mặt cầu

Cho hình chóp tam giác S ABC nội tiếp đường tròn, các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và có kích thước lần lượt là: a,b,c. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

Cách giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của cạnh AB

=> Tam giác SAB là tam giác vuông tại S

=> SM = MA=MB = ½ AB (SM là đường trung tuyến)

=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

Kẻ đường thẳng α qua M và vuông góc với mặt phẳng (SAB)

Trong mặt phẳng tạo bởi α và SC, đường trung trực của SC cắt α tại điểm I

=> IS = IC (1)

Mà IS = IA = IB (2)

Suy ra IA=IB=IC=IS

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp SABC, bán kính IS=IA=IB=IC

Ta có:

SM = ½ AB = ½ √ (SA2  +SB2 ) = ½ √ (a2  +b2 )

IM = SC/2 = c/2

Bán kính R = IS = 1/2AB = 1/2√ (a2  +b2 +h2 )

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là

S = 4 π R2  = (a2 +b2 +c2)π

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là

V = 4/3 π R3 = ⅙ π  (a2 +b2 +c2)3/2

Để tính diện tích mặt cầu S tâm I bán kính R ký hiệu (I;R), và thể tích khối cầu (hình cầu) V tâm I bán kính R ký hiệu (I;R) chúng ta chỉ việc áp dụng công thức sau khi tính được bán kính mặt cầu,

Tuy nhiên, việc xác định tâm của mặt cầu và bán kính của mặt cầu là không dễ và cần vận dụng qua nhiều bài học để tư duy tốt hơn trong các phương pháp tính. Ngoài ra, cần có kiến thức tổng hợp về hình học để có thể thành công với đa dạng bài tập.

Hy vọng sau bài viết hôm nay, các bạn đã có được kiến thức hữu ích để tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu. Chúc các bạn thành công!