HOME » Khái niệm » Trực Tâm Là Gì 2,349

Trực Tâm Là Gì

Trực tâm là điểm đặc biệt của tam giác, nó có nhiều tính chất giúp bạn giải quyết nhiều bài tập hóc búa. Cùng tìm hiểu trực tâm là gì, cách xác định trực tâm và một số dạng bài tập liên quan đến trực tâm dưới đây nhé!

Trong hình tam giác, trực tâm là gì?

Trực tâm là gì? Trực tâm là giao điểm 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh của một tam giác. Mỗi tam giác chỉ có 1 trực tâm duy nhất. Trực tâm có thể nằm trong hoặc ngoài miền của tam giác.

Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác là đường thẳng nối từ đỉnh đó đến cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đối diện tại điểm cắt. Cạnh đối diện này còn được gọi là cạnh đáy tương ứng với đường cao đó. Độ dài đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy tương ứng với nó.

Định lý, tính chất liên quan đến trực tâm hình tam giác

Trực tâm tam giác có nhiều định lý, tính chất quan trọng. Muốn làm tốt các dạng bài tập toán hình học, bạn cần nắm rõ các định lý, tính chất này để vận dụng làm bài tập nhanh chóng, hiệu quả.

  • Nếu ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. 

  • Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng ½  khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác đó.

  • Trong tam giác cân, đường trung trực tương ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến của tam giác đó.

  • Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

  • Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.

  • Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác được tạo bởi 3 đỉnh là 3 chân đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác ABC.

  • Định lý Carnot: Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác đó qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh. Ví dụ: Cho tam giác ABC có đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, trực tâm là điểm P. Theo định lý Carnot, D sẽ đối xứng với P qua BC,

  • Hệ quả: Trong tam giác đều ABC, trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau.

Ví dụ: Tam giác đều ABC có đường cao đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác. Trực tâm O đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.

Cách xác định trực tâm hình tam giác

Theo định nghĩa, trực tâm tam giác là giao điểm 3 đường cao tương ứng với 3 đỉnh của tam giác đó. Tuy nhiên, chỉ cần tìm giao điểm 2 đường cao là chúng ta dễ dàng xác định được trực tâm một tam giác, không cần vẽ cả 3 đường cao. Với các dạng tam giác khác nhau, vị trí trực tâm khác nhau.

  • Trong tam giác nhọn, trực tâm là điểm nằm bên trong tam giác

  • Trong tam giác tù, trực tâm là điểm nằm bên ngoài tam giác.

  • Trong tam giác vuông, trực tâm chính là đỉnh góc vuông của tam giác.

Ví dụ: Vì tam giác vuông FHG có góc đặc biệt nên đỉnh góc vuông H đồng thời là trực tâm của tam giác.

Ngoài ra, dựa vào các định lý, tính chất đã nêu ở phần trên, ta có thêm một số cách xác định trực tâm tam giác như sau:

  • Theo tính chất “Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm của một cạnh bằng ½  khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh còn lại của tam giác đó”, nếu biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta dễ dàng xác định trực tâm như sau: Kẻ 1 đường cao và 1 đường từ tâm đường tròn này đến trung điểm cạnh đối diện với đỉnh đường cao đó. Từ đây, tìm 1 điểm nằm trên đường cao cách đỉnh tam giác tương ứng một khoảng gấp đôi khoảng cách từ tâm đường tròn tới trung điểm cạnh đối diện, điểm đó là trực tâm.

  •  Theo Định lý Carnot: Đường cao tương ứng với một đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở đâu thì điểm đó là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác đó qua cạnh đáy đối xứng với đỉnh, bạn có thể xác định trực tâm như sau: Kẻ 1 đường cao của tam giác đó, đường cao đó cắt đường tròn tại 1 điểm thứ 2 (ngoài đỉnh tam giác), tìm điểm đối xứng với điểm đó qua đáy tương ứng sẽ là trực tâm.

Một số dạng toán liên quan đến trực tâm hình tam giác

Ở trên là lý thuyết liên quan đến trực tâm là gì, bạn cần ví dụ để hiểu cách làm dạng bài liên quan. Dạng bài toán hình học liên quan đến trực tâm khá nhiều, dưới đây là một số bài toán ví dụ để bạn tham khảo.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK cắt nhau tại H. Hãy chứng minh CH vuông góc với AB.

Bài giải:

Có  tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến

⇒ AM là đường cao của tam giác ABC (theo tính chất)

Lại có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK 

⇒ H là trực tâm của tam giác ABC (định nghĩa)

⇒ CH là đường cao của tam giác ABC (định nghĩa)

⇒ CH vuông góc với AB (định nghĩa).

Bài toán 2: Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.

Bài giải:

Trường hợp tam giác vuông:

Xét tam giác ABC vuông tại A thì BA⊥CA (định nghĩa)

⇒ A là giao điểm của hai đường vuông góc trong tam giác

⇒ A trực tâm của tam giác (định nghĩa).

Vậy trong tam giác vuông trực tâm trùng với đỉnh góc vuông.

Trường hợp tam giác tù:

Giả sử tam giác ABC có góc A là góc tù 

⇒ BC là cạnh lớn nhất hay BC > BA (định nghĩa)

Từ B kẻ BK vuông góc với CA ⇒ KA, KC lần lượt là hình chiếu của BA,BC.

Vì BC > BA (cmt) 

⇒ KC > KA hay K phải nằm ngoài đoạn thẳng AC. Do đó ta có đường cao BK. Chứng minh tương tự ta cũng có đường cao CP.

Gọi H là giao điểm của BK và CP ⇒ Theo định nghĩa trực tâm tam giác thì H là trực tâm của tam giác. 

Theo hình vẽ ta thấy H ở bên ngoài tam giác.

⇒ Trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác đó (điều phải chứng minh).

Bài toán 3: Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng a vuông góc với d tại J. Trên a lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt a tại N. Dựa vào tính chất trực tâm của tam giác chứng minh KN ⊥ IM.

Bài giải:

Theo bài ra ta có a ⊥ d tại J, M và J ∈ a  

⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI (1)

Lại theo bài ra ta có N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI (2)

Lai có IN và MJ cắt nhau tại N (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ N là trực tâm của ΔMKI (theo tính chất ba đường cao của tam giác).

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⏊ IM.

Bài toán 4: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Dựa vào tính chất trực tâm:

a) Hãy xác định các đường cao của tam giác HBC. Từ đó xác định trực tâm của tam giác đó.

b) Dựa vào tính chất trực tâm, lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.

Bài giải:

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB (Dựa vào tính chất trực tâm)

a) Xét ΔHBC có :

AD ⊥ BC  ⇒ AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F ⇒ BA là đường cao từ B đến HC.

CA ⊥ BH tại E ⇒ CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A 

Từ 4 ý trên ⇒ A là trực tâm của ΔHCB (định nghĩa trực tâm tam giác).

b) Tương tự áp dụng tính chất trực tâm tam giác:

Xét ΔHAB có:

CF, AC, BC là 3 đường cao của ΔHAB

CF, AC, BC cắt nhau tại C

⇒ C là trực tâm của ΔHAB (định nghĩa).

Xét ΔHAC có:

BE, AB, CB là 3 đường cao của ΔHAC

BE, AB, CB cắt nhau tại B

⇒ B là trực tâm của ΔHAC (định nghĩa).

Trên đây là những thông tin cơ bản liên quan đến trực tâm là gì. Hy vọng những thông tin này giúp các bạn học sinh dễ dàng giải được các bài toán liên quan đến trực tâm.

DBK VIỆT NAM, https://dbk.vn/truc-tam-la-gi.html,
21/15 đường số 17
Thu Đuc, HCM, 700000
Việt Nam
+84919219111