HOME » Khoa học » Diện tích hình thoi 41,131

Diện tích hình thoi

Tiếp nối chuỗi các bài tập về dạng toán toán diện tích, bài viết hôm nay sẽ cung cấp cho bạn đọc những thông tin về chủ đề diện tích hình thoi. Bao gồm định nghĩa, các tính chất, công thức và các phương pháp tính diện tích hình thoi.

Định nghĩa về hình thoi

Hình thoi trong hình học Euclide là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Đây là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau hay hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Hình thoi cũng là một hình bình hành

Ví dụ:

  • Tứ giác ABCD, có độ dài các cạnh AB, BC, CD, AD bằng nhau. Khi đó, tứ giác ABCD được xem là hình thoi.
  • Như vậy, để chứng minh một đa giác là hình thoi thì chúng ta chỉ cần chứng minh đa giác này đáp ứng 2 yếu tố: là tứ giác và các cạnh của nó có độ dài bằng nhau.
  • Có nhiều cách khác nữa để chứng minh một đa giác là hình thoi, mời bạn đọc theo dõi tiếp phần tính chất của hình thoi để có cái nhìn tổng quan và vận dụng tốt cho những bài tập tính diện tích hình thoi.

Các tính chất và dấu hiệu nhận biết hình thoi

Tính chất hình thoi 

Hình thoi có đầy đủ tính chất của hình bình hành

Hai đường chéo vuông góc với nhau

Hai đường chéo là đường phân giác góc của hình thoi

Hình thoi có các góc đối bằng nhau, tổng các góc trong hình thoi bằng 360 độ

Hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc trong hình thoi

Dựa vào các tính chất trên, ta có thể dễ dàng chứng minh một tứ giác là hình thoi thông qua 

các đường chéo, các góc đối và tính chất của hình bình hành.

Các dấu hiệu nhận biết hình thoi

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi.

Tứ giác có 2 đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là hình thoi.

Sự liên quan giữa hình thoi và hình bình hành

Hình thoi là một dạng đặc biệt của một hình bình hành vì nó có đầy đủ tính chất của hình bình hành và còn có một số tính chất khác:

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Chứng minh hình thoi:

Vì ABCD là hình thoi, nên ta có AB=AD, CB=CD. Gọi H là trung điểm của BD.

Khi đó: Tam giác ABD và tam giác CBD đều là tam giác cân.

Tam giác ABD cân tại A, nên AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao và đường phân giác của góc BAD => AH vuông góc với BD tại H (1)

Tương tự ta cũng chứng minh được CH vuông góc với BD tại H. (2)

Từ (1), (2) => A, H, C thẳng hàng

Khi đó ta dễ dàng suy ra :

AC ꓕ BD

AH = HC

BH = DH

AC và BD là đường phân giác lần lượt của góc BAD và BCD

Đối với bài toán tính diện tích hình thoi, bạn cần nắm chắc tính chất vuông góc 2 đường chéo của hình thoi để vận dụng. Ngoài ra, các tính chất còn lại sẽ cần cho những bài toán vận dụng nâng cao.

Công thức tính diện tích hình thoi

Diện tích hình thoi được xác định bởi ½ tích hai đường chéo. Tuy nhiên có nhiều cách khác để xác định diện tích hình thoi. Các phương pháp này sẽ được trình bày chi tiết và các ví dụ đi kèm. Có 3 phương pháp chính thường dùng để tính diện tích hình thoi, đó là:

  • Phương pháp 1: Sử dụng đường chéo
  • Phương pháp 2: Sử dụng cạnh đáy và chiều cao
  • Phương pháp 3: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác

Phương pháp 1: Tính diện tích hình thoi bằng cách sử dụng đường chéo

Ta có công thức sau: S= ½.AC.BD

Trong đó: S: diện tích hình thoi

                 AC, BD là độ dài 2 đường chéo của hình thoi

Xét một hình thoi ABCD, có hai đường chéo AC & BD. Diện tích hình thoi được xác định qua 3 bước

  • Bước 1: Tìm độ dài của mỗi đường chéo. Đường chéo của hình thoi là đường nối các đỉnh đối diện với nhau. Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tại giao điểm của chúng.
  • Bước 2: Nhân độ dài 2 đường chéo với nhau. Bạn chỉ việc đo rồi viết ra độ dài 2 đường chéo, sau đó nhân lại với nhau.
  • Bước 4: Chia kết quả cho 2

Để hiểu thêm, chúng ta cùng là một ví dụ

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình thoi có các đường chéo bằng 6cm và 8cm.

Lời giải

Ta có: Độ dài 2 đường chéo có ở đề bài lần lượt là 6 và 8.

Diện tích hình thoi là: 

½.(6 × 8)= 24 cm2

Do đó, diện tích của một hình thoi là 24cm2 .

Phương pháp 2: Tính diện tích hình thoi sử dụng cạnh đáy và chiều cao

Hình thoi thực ra là một hình thang đặc biệt. Hình thang này có 2 cạnh đáy bằng nhau và bằng 2 cạnh bên. Khi đó, áp dụng công thức tính diện tích hình thang, ta có thể tính được diện tích hình thoi như sau:

S = (a+a).h/2 = a.h

Trong đó:

 h: Chiều cao của hình thoi

 a: Cạnh đáy

Các bước tính diện tích hình thoi dựa vào cạnh đáy và chiều cao

  • Bước 1:  Tìm độ dài cạnh đáy và chiều cao. Ngoài cách trên bạn có thể tính diện tích hình thoi bằng cách nhân độ dài một cạnh với chiều cao 
  • Bước 2: Nhân đáy với chiều cao. Khi đã biết độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình thoi, công việc còn lại của bạn để tìm diện tích là nhân chúng với nhau.

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình thoi biết cạnh đáy của nó là 10 cm và chiều cao là 7 cm.

Lời giải:

Ta có cạnh đáy a = 10 cm

Chiều cao h = 7 cm

Diện tích hình thoi là:

S = a.h = 10 x 7 = 70 cm2

Phương pháp 3: Tính diện tích hình thoi bằng cách sử dụng công thức lượng giác

Nếu gọi a là độ dài cạnh của hình thoi. Diện tích hình thoi được xác định bởi công thức: 

S= a². sin α

Trong đó: 

a là độ dài cạnh bên

α là góc bất kì của hình thoi

Các bước tính diện tích hình thoi bằng phương pháp lượng giác:

  • Bước 1: Bình phương chiều dài của cạnh bên

  • Bước 2: Nhân nó với sin của một trong các góc bất kì của hình thoi

Ví dụ 3: Tính diện tích hình thoi ABCD biết độ dài cạnh bên là 2cm và góc là 30 độ.

Lời giải:

Cạnh bên hình thoi:  a = 2 cm

Góc A bằng 30 độ, do đó góc C đối diện với a bằng 150 độ

Diện tích hình thoi ABCD là:

S= a². sin α

S= 2². sin 30 = 2 cm2

S= 2². sin 150 = 2 cm2

Luyện tập:

Câu 1: Tính diện tích của hình thoi biết độ dài cạnh bằng 17cm và một trong 2 đường chéo của nó bằng 16 cm.

Giải pháp:

Câu hỏi ví dụ về diện tích hình thoi

ABCD là hình thoi trong đó AB = BC = CD = DA = 17 cm

Đường chéo AC = 16cm (với O là giao điểm của đường chéo)

Do đó, AO = 8 cm

Trong ∆ AOD,

AD² = AO²  + OD²

⇒ 17² = 8² + OD²

⇒ 289 = 64 + OD²

⇒ 225 = OD²

⇒ OD = 15

Do đó, BD = 2 × OD

= 2 × 15

= 30 cm

Bây giờ, diện tích hình thoi là:

S = ½ × 16 × 30 = 240 cm 2

Câu 2:  Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 13cm, hai đường chéo cắt nhau tại H. Tính diện tích hình thoi ABCD biết BH gấp rưỡi AH.

Lời giải:

ABCD là hình thoi, nên AH vuông góc với BH tại H, khi đó tam giác ABH vuông tại H.

Đặt BH= 2a, khi đó AH =3a.

Theo định lí Pytago ta có:

AH²+ BH²= AB²

⇒9a²+4a²=13

⇒13a²=13

⇒a=1

Do đó AH= 3cm, BH= 2cm hay AC=6 cm, BD= 4cm

Diện tích hình thoi là: S = 6.4/2= 12cm²

Một vài ví dụ trên hi vọng giúp bạn đọc có thể nắm vững dạng toán diện tích hình thoi và dễ dàng giải quyết được những bài tập nâng cao.

DBK VIỆT NAM, https://dbk.vn/dien-tich-hinh-thoi.html,
21/15 đường số 17
Thu Đuc, HCM, 700000
Việt Nam
+84919219111